1.2 Sifat-sifat operasi aljabar bilangan kompleks
1.2.1 Definisi 3
Jika z1 = (x1,y1) dan z2
= (x2,y2) adalah dua bilangan kompleks, maka jumlah dan
hasil kali dari z1 dan z2 masing-masing adalah :
z1 + z2 = (x1 ,y1) + (x2
, y2) =(x1 + x2
, y1 + y2).
z1. z2 = (x1 ,y1) (x2, y2) =(x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1).
1.2.2 Sifat-Sifat Lapangan Bilangan
Kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks
bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+,-) membentuk sebuah lapangan (field).
Coba anda ingat kembali materi pada mata kuliah Struktur Aljabar. Buktikan !
Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,
z2 dan z3 adalah sebagai berikut :
1.
z1 + z2 Î
C dan z1. z2 Î C. (sifat tertutup)
2.
z1 + z2
= z2 + z1
dan z1. z2 = z2. z1 Î
C. (sifat komutatif)
3.
(z1 + z2 ) + z3 =
z1 + (z2 + z3) dan (z1z2)
z3 = z1( z2 z3) (sifat
asosiatif)
4.
z1(z2 + z3) = z1z2
+ z1 z3 (sifat distribuif)
5.
Ada 0 = (0,0) Î C sehingga z + 0 = z (0 elemen
netral penjumlahan)
6.
Ada 1 = (1,0) Î C sehingga z . 1 = z (1 elemen
netral perkalian)
7.
Untuk setiap z = (x,y) Î C, ada –z = (-x,-y) sehingga z +
(-z) = 0
8.
Untuk setiap z = (x,y) Î C, ada z-1 = sehingga
z.z-1 = 1.
1.2.3 Notasi lain dari z = (x,y)
Diketahui bahwa x =
(x,0) dan i = (0,1). Perhatikan pula (0,y) = (0,1)(y,0) = iy, sehingga z =
(x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y). Jadi diperoleh z = (x,y) = x + iy. Demikian
juga i2 = ((0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. Oleh karena itu z = (x,y) dapat
juga ditulis sebagai x + iy, dengan x = Re(z) dan y = Im(z).
Dengan notasi z = x +iy, kita akan lebih mudah untuk
melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dipandang
sebagai operasi aljabar biasa dengan mengingat bahwa i2 = -1.
Contoh
Soal :
1. Jika z1 = x1 + iy1 dan z2 =x2
+ iy2 ,buktikan bahwa z1
– z2 = (x1 - x2)
+ (y1 - y2)i !
Bukti
:
z1
– z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2)
= (x1 + iy1) +(-x2 - iy2)
= (x1 - x2) + (y1
- y2)i
2. Tugas :Coba anda berikan sifat pembagian 2
bilangan kompleks !
3. Diketahui z1
= 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Tentukan z1 + z2,
z1 - z2 , z1z2,
dan z1 / z2
Jawab :
z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – i) = 7 + 2i ,
dan z1 - z2 =
(2 + 3i) - (5 – i) = -3 + 4i
Lanjutkan untuk z1z2, dan z1 /
z2 !
4. Diketahui z1
= 0,5 + 1,5iV3 dan z2 = 0,75-0,5iV2. Tentukan z1 + z2,
z1 - z2 , z1z2,
dan z1 / z2
1.2.4 Sekawan
Kompleks
Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis 
didefinisikan sebagai = (x,-y) = x – iy. Contoh sekawan dari 3 + 2i adalah 3
– 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.
Sekawan dari z = 0,75-0,5iV2. = ..........
didefinisikan sebagai = (x,-y) = x – iy. Contoh sekawan dari 3 + 2i adalah 3
– 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.
Sekawan dari z = 0,75-0,5iV2. = ..........
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan
bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :
Teorema
1 :
a.
Jika z bilangan kompleks,
b.
Jika z1, z2
bilangan kompleks ,
