Suatu titik di mana f(z) tidak analitik dinamakan titik singular atau kesingularan f(z). Terdapat berbagai jenis kesingularan, yaitu:
1. Kesingularan terpencil (Isolated Singularities)
Titik z = z0 dinamakan kesingularan terpencil atau titik singular terpencil dari f(z) jika kita dapat menentukan δ > 0 sehingga lingkaran | z – z0 | = δ tidak memuat lagi titik singular selain dari z0 (yaitu terdapat sutau lingkungan dari z0 yang dihilangkan yang tidak memuat lagi kesingularan ). Jika δ yang demikian tidak dapat ditentukan , maka kita menamakan z0 adalah suatu kesingularan tak terpencil.
Jika z0 bukan suatu titik singular dan kita dapat menentuan δ > 0 sehingga | z – z0 | = δ tidak mengelilingi titik singular, maka kita menamakan z0 suatu titik biasa dari f(z)
2. Pole
Jika kita dapat menentukan suatu bilangan bulat positif n sehingga f(z) = A = 0, maka z = z0 dinamakan suatu pole bertingkat n. Jika n = 1, maka z0 dinamakan suatu pole sederhana.
Contoh 1 : memiliki pole bertingkat 3 di z = 2
Contoh 2 : memiliki pole bertingkat 3 di z = 1 dan pole sederhana di z = -1 dan z = 4
Jika g(z) = dimana f(z0) ≠ 0 dan n adalah suatu bilangan bulat positif, maka z = z0 dinamakan suatu nilai nol bertingkat-n dari g(z). Jika n = 1, maka z0 dinamakan suatu nilai nol sederhana. Dalam hal ini z0 adalah suatu pole bertingkat n dari fungsi 1/ g(z).
3. Titik cabang
Titik cabang dari fungsi bernilai banyak, yang telah dibahas adalah titik singular.
Contoh 1 : memiliki suatu cabang di z = 3
Contoh 2 : memiliki titik cabang dimana yaitu pada z = 1 dan z = -2.
4. Kesingularan yang dapat dihapuskan
Titik singular z0 dinamakan kesingularan yang dapat dihapuskan dari f(z) jika ada.
Contoh :
Titik singular di z = 0 adalah suatu kesingularan yang dapat dihapuskan dari karena
5. Kesingularan esensial
Suatu kesingularan yang bukan suatu pole, titik cabang atau kesingularan yang dapat dihapuskan disebut kesingularan esensial.
Contoh :
f(z) = e 1/(z-2) memiliki suatu kesingularan essensial di z = 2.
Jika suatu fungsi bernilai tunggal dan memiliki suatu kesingularan, maka kesingularannya adalah suatu pole, atau kesingularan essensial. Dalam pengertian ini, suatu pole kadang-kadang dinamakan suatu kesingularan tak essensial. Pernyataan yang setara, z = z0 adalah suatu kesingularan essensial jika kita tidak dapat menentukan suatu bilangan positif n sehingga (z-z0)n f(z) = A ≠ 0
6. Kesingularan di tak berhingga
Jika f(z) mempunyai titik singular di z = ∞, maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.
Contoh :
Fungsi f(z) = z3 memiliki suatu pole bertingkat tiga di z = ∞ , karena
f(l/w) = 1/w3 memiliki suatu pole bertingkat 3 di w = 0
