Sistem Bilangan Kompleks

Karena tidak ada bilangan riil x yang memenuhi persamaan polinomial x^2 + 1 = 0 atau persamaan yang serupa dengan persamaan polinomial tersebut, maka diperkenalkanlah himpunan bilangan kompleks.

Bentuk umum dari bilangan kompleks adalah a + bi dimana a dan b adalah bilangan – bilangan riil yang dinamakan bagian riil dan bagian imajiner , dan i = \sqrt{-1} dianamakan satuan imajiner (imaginary unit). Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d . Kita dapat meninjau bilangan – bilangan riil sebagai subhimpunan dari himpunan bilangan kompleks dengan b = 0 . Bilangan kompleks 0 + 0i besesuaian dengan bilangan riil 0.
Nilai Absolut  dari a + bi  didefinisikan sebagai |a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2}. Konjugat komples (compleks konjugat) dari a + bi  didefinisikan sebagai a – bi . Konjugat kompleks dari bilangan kompleks z seringkali ditunjukan dengan z* .
Dalam melakukan operasi pada bilangan kompleks maka kita dapat melakukan operasi seperti dalam aljabar bilangan riil dengan menggantikan i^2 dengan –1 bilamana terdapat i^2 .Ketaksamaan untuk bilangan kompleks tidak didefinisikan.
Dari segi pandangan pondasi aksiomatik bilangan kompleks, maka diinginkan untuk memperlakukan sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan (ordered paid) (a,b) dari bilngan – bilngan riil a  dan b yang menuruti kaidah operasional tertentu yang ternyata ekuivalen dengan yang diatas. Misalnya, kita mendefinisikan (a,b) + (c,d) = (a + c , b+ d),  (a,b) (c,d) = (ac – bd, ad + bc), m(a , b) = (ma , mb) dan lain sebagainya . Maka kita mendapatkan bahwa (a , b) = a (1 , 0) + b(0,1) dan kita mengasosiasikan ini dengan a + bi dimana i adalah lambang untuk (0,1).