BILANGAN KOMPLEKS


1.2 Sifat-sifat operasi aljabar bilangan kompleks
1.2.1 Definisi 3
            Jika z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) adalah dua bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dari z1 dan z2 masing-masing adalah :
 z1 +  z2  = (x1 ,y1) + (x2 , y2) =(x1  + x2 , y1 + y2).
z1. z2  = (x1 ,y1)  (x2,  y2) =(x1x2  - y1y2  , x1y2  + x2y1).

1.2.2 Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Kompleks
            Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+,-) membentuk sebuah lapangan (field). Coba anda ingat kembali materi pada mata kuliah Struktur Aljabar. Buktikan ! Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai berikut :
1.     z1 +  z2  Î C dan z1. z2  Î C. (sifat tertutup)
2.     z1 +  z2  = z2 +  z1 dan z1. z2 = z2. z1  Î C. (sifat komutatif)
3.     (z1 +  z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1z2) z3 = z1( z2 z3) (sifat asosiatif)
4.     z1(z2  + z3) = z1z2 + z1 z3 (sifat distribuif)
5.     Ada 0 = (0,0) Î C sehingga z + 0 = z (0 elemen netral penjumlahan)
6.     Ada 1 = (1,0) Î C sehingga z . 1 = z (1 elemen netral perkalian)
7.     Untuk setiap z = (x,y) Î C, ada –z = (-x,-y) sehingga z + (-z) = 0
8.     Untuk setiap z = (x,y) Î C, ada z-1 = sehingga z.z-1 = 1.

1.2.3 Notasi lain dari z = (x,y)
 Diketahui bahwa x = (x,0) dan i = (0,1). Perhatikan pula (0,y) = (0,1)(y,0) = iy, sehingga z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y). Jadi diperoleh z = (x,y) = x + iy. Demikian juga i2 = ((0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. Oleh karena itu z = (x,y) dapat juga ditulis sebagai x + iy, dengan x = Re(z) dan y = Im(z).
Dengan notasi z = x +iy, kita akan lebih mudah untuk melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dipandang sebagai operasi aljabar biasa dengan mengingat bahwa i2 = -1.

Contoh Soal :
1. Jika z1  = x1 + iy1 dan z2 =x2 + iy2 ,buktikan bahwa  z1 – z2 = (x1  - x2) + (y1 - y2)i !
Bukti :
z1 – z2 =  (x1  + iy1) – (x2 + iy2) =  (x1  + iy1) +(-x2 - iy2) = (x1  - x2) + (y1 - y2)i
2.   Tugas :Coba anda berikan sifat pembagian 2 bilangan kompleks !
3.  Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
Jawab :
z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – i) = 7 + 2i , dan  z1 - z2 = (2 + 3i) - (5 – i) = -3 + 4i
Lanjutkan untuk z1z2, dan z1 / z2 !
4.  Diketahui z1 = 0,5 + 1,5iV3 dan z2 = 0,75-0,5iV2. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2

1.2.4 Sekawan Kompleks
Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis didefinisikan sebagai = (x,-y) = x – iy. Contoh sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i  adalah –5i. Sekawan dari z = 0,75-0,5iV2. = ..........
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :
Teorema 1 :
a.      Jika z bilangan kompleks,
b.     Jika z1, z2 bilangan kompleks ,